Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем). Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем) Достаточный признак экстремума доказательство

02.11.2023 -

Чтобы исследовать поведение функции , нужно:

2) Приравнять эту производную к нулю и решить полученное уравнение
Его корни
являются стационарными точками.

3) Подвергнуть стационарные точки дополнительному исследованию, для чего нанести их на числовую ось и определить знаки
на получившихся участках. Зная эти знаки, можно определить характер каждой стационарной точки. Если при прохождении через стационарную точку производная
меняет знак с плюса на минус, то стационарная точка является точкой максимума. Если при прохождении через стационарную точку знак производной меняется с минуса на плюс, то стационарная точка является точкой минимума. Если при прохождении через стационарную точку производная
знак не меняет, то стационарная точка не является точкой экстремума.

Иногда при нахождении экстремумов используются другие достаточные условия, в которых характер точки экстремума определяется знаком второй производной в стационарной точке.

Теорема (второе достаточное условие существования экстремума).Пусть --- стационарная точка функции(то есть
иимеет вторую производную, непрерывную в окрестности точки.Тогда

1)если
, то--- точка максимума функции;

2)если
, то--- точка минимума функции.

Пример 3. Найти экстремум функции .

Решение. Поскольку
периодическая функция с периодом
, достаточно рассмотреть лишь промежуток от 0 до
. Найдем
и
:

,
.

Приравнивая
к нулю, найдем стационарные точки:

или
. На промежутке
лежат два корня этого уравнения:
и
. Определим знак
в этих точках:
, следовательно
--- точка максимума:

, следовательно
--- точка минимума.

Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую Г, являющуюся графиком дифференцируемой функции
.

Определение 1 . Кривая называется выпуклой вверх (выпуклой) на (a,b), если на этом интервале все точки кривой лежат не выше любой ее касательной.

Определение 2. Кривая называется выпуклой вниз (вогнутой) на
, если на этом интервале все точки кривой лежат не ниже любой ее касательной.

Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы. Установим признаки, с помощью которых определяют интервалы, на которых график функции является выпуклым (вогнутым). Таким признаком служит, например, знак второй производной функции
(если она существует).

Теорема 1.
вторая производная функцииотрицательна, то кривая
на этом интервале выпукла вверх.

Теорема 2. Если во всех точках интервала
вторая производная функции
положительна, то кривая
на этом интервале вогнута (выпукла вниз).

Пример 1. Найти интервалы выпуклости-вогнутости функции

Решение. При

следовательно, функция при этихвыпукла; при

, следовательно, при этихфункция вогнута.

Определение 3 . Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны - над ней.

Теорема 3. (Необходимое условие перегиба). Если есть точка перегиба кривой
и в ней существует вторая производная
то
.

Откуда следует, что проверять на перегиб надо лишь те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

Теорема 4. Если при переходе через точку вторая производная
меняет знак, то точка кривой
с абсциссойесть точка перегиба.

Пример 2.Найти точки перегиба кривой
.

Решение. Область допустимых значений:
.

Находим производные:

;
.

Вторая производная нигде не обращается в ноль, но при
не существует.

Определим знаки
слева и справа от точки
:

при
, следовательно на интервале
функция вогнута;

при
, следовательно на интервале
функция выпукла.

Таким образом, при
существует точка перегиба
.

Необходимый признак экстремума можно сформулировать и так: если точка M (x 0 , y 0 ) является точкой локального экстремума дифференцируемой функции z = f (x , y ), то вектор градиента этой функции в этой точке будет нулевым вектором, т.е. .

Точки, в которых частные производные первого порядка функции двух переменных равны нулю, называются стационарными точками.

Для формулировки достаточного признака экстремума функции двух переменных нам понадобится матрица дифференциала второго порядка этой функции, записанного в виде квадратичной формы:

А также определитель этой матрицы, который можно записать в следующем виде:

Достаточный признак экстремума

Замечание. Если в стационарной точке М : Δ = АВ – С 2 = 0, то наличие экстремума возможно, но для этого требуется проведение дополнительных исследований.

ПРИМЕР: Найти экстремумы функции

Вычислим частные производные первого и второго порядка данной функции:

Для нахождения стационарных точек приравняем к нулю частные производные первого порядка и получим систему уравнений:

или:

Решая эту систему, получим две стационарные точки М (0, 0) и N (1, 1/2).

Для выяснения наличия экстремумов и их характеров в этих точках вычислим значения частных производных второго порядка последовательно в каждой точке.

Для стационарной точки М (0, 0) получим:

Поскольку: Δ = АВ – С 2 = - 36 < 0, в этой стационарной точке экстремума нет.

Для стационарной точки N (1, 1/2) получим:

Поскольку Δ = АВ – С 2 = 108 > 0 и A = 6 > 0, заключаем, что в этой стационарной точке будет локальный минимум данной функции. Причем значение функции в точке минимума будет равно 0.

Метод наименьших квадратов

В практических приложениях, в том числе и экономических, часто возникает задача сглаживания некоторых экспериментально полученных зависимостей. То есть задача по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x , исключив случайные отклонения от этой общей тенденции, обусловленные неизбежными погрешностями экспериментальных или статистических данных. Такую сглаженную зависимость обычно ищут в виде формулы. При этом формулы, служащие для аналитического представления зависимостей опытных или экспериментальных данных, принято называть эмпирическими.

Задача поиска подходящей эмпирической формулы обычно разбивается на два основных этапа. На первом этапе устанавливают, или выбирают, общий вид такой зависимости y = f (x ), т.е. решают, является ли данная зависимость линейной, квадратичной, показательной, логарифмической и т.д. При таком выборе часто привлекаются дополнительные соображения, как правило, нематематического характера. На втором этапе находят неизвестные параметры выбранной эмпирической функции, используя только массив экспериментально полученных данных.

Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров эмпирической функции f (x ) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов “невязок” δ i (отклонений “теоретических” значений функции от экспериментально полученных значений) была бы минимальной, т.е.:

где и - экспериментальные данные, а n – общее количество пар этих данных.

Рассмотрим простейшую задачу такого рода. Пусть в качестве эмпирической функции выбрана линейная функция, т.е. (рис. 22), и необходимо найти такие значения параметров a и b , которые доставят минимум функции: .

Очевидно, функция будет функцией двух переменных a и b до тех пор, пока не найдены и не зафиксированы их “наилучшие” значения, поскольку все и есть постоянные числа, найденные экспериментально. Поэтому для нахождения параметров прямой, наилучшим образом согласованной с опытными данными, достаточно решить систему уравнений:

После соответствующих вычислений производных и тождественных преобразований эта система может быть представлена в виде системы нормальных уравнений :

Эта система линейных уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено по правилу Крамера:

;

Таким образом, наилучшим линейным приближением экспериментальной зависимости по методу наименьших квадратов будет являться прямая .

ПРИМЕР: Зависимость между прибылью предприятия Y и стоимостью основных фондов Х , выраженных в условных единицах, задается таблицей.

Х
Y

Для выяснения вида эмпирической формулы связи построим график экспериментальной зависимости (кружки на рис. 23). По расположению экспериментальных точек на графике можно предположить, что зависимость между Х и Y является линейной, т.е. имеет вид:

Для определения числовых значений параметров а и b проведем расчет коэффициентов системы нормальных уравнений, а для удобства сведем вычисления в таблицу.

По данным таблицы:

Подставляя найденные значения (с учетом того, что n = 7) в формулы для расчета параметров а и b , найдем:

Таким образом, эмпирическая зависимость имеет вид (на рис. 23 изображена сплошной прямой): y = 0,557x – 5,143.

ВОПРОСЫ для самоконтроля знаний по теме 6:

1. Задает ли уравнение функцию нескольких переменных?

Билет №1

первообразной функцией Теорема Доказательство неопределённым интегралом

Точка (X 0 ;Y 0) называется точкой максимума точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X 0 ;Y 0), из δ-окрестности точки (X 0 ;Y 0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X 0 ;Y 0).

Докозательство:

Билет №2

Доказательство Геометрический смысл

частным приращением частной производной Геометрический смысл

Билет №3

19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X 0 ;Y 0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (X 0 ;Y 0), что выполняется неравенство f(x;y)точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X 0 ;Y 0), из δ-окрестности точки (X 0 ;Y 0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X 0 ;Y 0). Пусть в стационарной точке (X 0 ;Y 0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X 0 ;Y 0) значения A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy (X 0 ;Y 0). Обозначим Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если Δ><0; минимум, если A>0; 2)если Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Билет №4 Определённым интегралом Свойства Доказательство. в точке с координатами (x;y;z) .Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.Предположим, что функция u(x;y;z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz, где E 1 , E 2 , E 3 стремятся к нулю при Δl→0. Разделим всё равенство на Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. Равенство можно представить так: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. Перейдя к пределу, получим Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

Билет №5

1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенный интеграл: определение Функция F(x) называется первообразной функцией f(x) на интервале (a;b), если для любого x∈(a;b) выполняется равенство F"(x)=f(x).Теорема . Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С=const.Доказательство . Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функция f(x), т.е. Ф"(х)=f(x). Тогда для любого x∈(a;b) имеем (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C, C=const. Следовательно, Ф(x)=F(x)+C.Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx.

19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X 0 ;Y 0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (X 0 ;Y 0), что выполняется неравенство f(x;y)точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X 0 ;Y 0), из δ-окрестности точки (X 0 ;Y 0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X 0 ;Y 0). 20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка). Пусть в стационарной точке (X 0 ;Y 0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X 0 ;Y 0) значения A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy (X 0 ;Y 0). Обозначим Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если Δ>0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) имеет экстремум: максимум, если A<0; минимум, если A>0; 2)если Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Билет №6

3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - какая-либо её первообразная на (F"(x)=f(x)), то имеет место формула ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(x n)-F(x 0)=(F(x n)-F(x n -1))+(f(x n -1)-F(x n -2))+…(F(x 2)-F(x 1))+(F(x 1)-F(x 0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(c n)(x n -x n -1)+F’(c n -1)(x n -1 -x n -2)+F’(c 2)(x 2 -x 1)+F’(c 1)(x 1 -x 0)= ΣF’(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, то есть F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, где Ci есть некоторая точка интервала (X i -1 ,X i). Так как функция y=f(x) непрерывна на , то она интегрируема на . Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на . Переходя к пределу при λ=maxΔXi→0,получаем F(b)-F(a)=lim Σf(Ci)ΔXi, то есть ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a).

Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой

11. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x;y) и непрерывностью функции z=f(x;y) в точке (формулировка, доказательство). Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке М(x;y), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные. Доказательство . Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х 0 . Дадим в этой точке аргументу приращение Δх. Функция получит приращение Δу. Найдем limΔx→0(Δy). limΔx→0(Δy)= limΔx→0((Δy*Δx)/Δx))= limΔx→0(Δy/Δx)* limΔx→0(Δx)=f"(x0)*0=0. Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х 0 .

Билет №7

Необходимый признак экстремума.

Если непрерывная функция z=z(x,y) имеет в точке P0(x0,y0) экстремум, то все ее частные производные первого порядка в этой точке или равны нулю или не существуют

Докозательство: Частная производная функции z=f(x,y) по x в точке P0(x0,y0) есть производная функции одной переменной φ(x)=f(x,y0) в точке x-x0. Но в этой точке функция φ(x) имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, φ’(x0)=0 .Так как φ’(x0)=f’x(x0,y0), то f’x(x0,y0)=0 Аналогично можно показать, что f’y(x0,y0)=0 . Теорема доказана.

Билет №8

6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то существует точка С∈ такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a).Доказательство . По формуле Ньютона-Лейбница имеем ∫(от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F"(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F"(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).Геометрический смысл . Теорема при f(x)≥0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С∈ (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)∫(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке .

8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл. Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим ∆ x z. Итак, ∆ x z=f(x+∆x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: ∆ y z=f(x;у+∆y)–f(х;у).Если существует предел lim∆x→0(∆ x z/∆x)=lim∆x→0((f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z" x , δz/δx; f" x , δf/δx. Геометрический смысл . Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x 0 ;y 0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у 0 . Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f" x (x 0 ;y 0)=tgα, где α - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x 0 ;y 0) в точке M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Аналогично f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Билет №9

Доказательство Геометрический смысл

Касательной плоскостью Нормалью к поверхности

Билет №10

10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке. Определение полного дифференциала dz и его форма. Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, где α=α(∆x;∆y)→0 и β=β(∆x;∆y)→0 при ∆x→0 и ∆y→0. Главная часть приращения функции z=f(x;y), линейная относительно ∆x и ∆y, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz: dz=A*∆x+B*∆y. dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy.

Билет №11

4. Определение определённого интеграла по отрезку. Основные свойства определённого интеграла по отрезку (с доказательством одно из них). Определённым интегралом по отрезку от функции f(x) называется предел интегральной суммы Σf(c i)Δx i , если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е ∫(от a до b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i .Свойства : 1)Если с - постоянное число и функция f(x) интегрируема на , то ∫(от a до b) с*f(x)dx=с*∫(от a до b) f(x)dx.2)Если функции f 1 (x) b f 2 (x) интегрируемы на , тогда интегрируема на их сумма и ∫(от a до b) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫(от a до b) f 1 (x)dx+∫(от a до b) f 2 (x)dx. 3)∫(от a до b) f(x)dx= -∫(от b до a) f(x)dx. 4)Если функция f(x) интегрируема на и a

10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке. Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, где α=α(∆x;∆y)→0 и β=β(∆x;∆y)→0 при ∆x→0 и ∆y→0.

12. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x,y) существованием частных производных в точке (формулировка, доказательство). Теорема: Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют конечные частные производные, числено равны А и В Дано: Δz=AΔx+ВΔy+0(ρ) Доказать: Ǝ(δz/δx(x 0 ;y 0)=A Доказательство: Дадим x 0 →Δx, y=y 0 =>Δ x z=(A*Δx+0(│x│). ρ=√(Δx 2 +Δy 2)=│Δx│. Δ x z/Δx=A+0(│x│)/Δx. LimΔx→0 (Δ x z/Δx)=lim=A. δz/Δx(x 0 ;y 0)=A. Аналогично: Y 0 →Δy, x=x 0 =>Δ y Z. δz/Δy(x 0 ;y 0)=B.

Билет №12

Доказательство

Билет №13

2. Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определённого интеграла по отрезку. Определение определённого интеграла по отрезку. Пусть на отрезке задана функция y=f(x)≥0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу - осью Ох, сбоку прямые x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции. f(c 1)Δx 1 +f(c 2)Δx 2 +..+f(c n)Δx n =Σf(c i)Δx i =Sn. C уменьшением всех величин Δx i точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимаемся предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ=maxΔx i →0: S=lim n→∞ Sn=lim n→∞(λ→0) Σf(c i)Δx i , то есть S=∫(от a до b) f(x)dx. Итак, определённый интеграл от неопределённой функции численно равен площади криволинейной трапеции.Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на численные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке и обозначается ∫(от a до b) f(x)dx. Таким образом, ∫(от a до b) f(x)dx=lim n→∞(λ→0) Σf(c i)Δx i .

17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение). Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М 1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М 1 . Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости.

Билет №14

5. Теорема об оценке определённого интеграла по отрезку (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Оценка интеграла. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке , (aДоказательство . Так как для любого x∈ имеем m≤f(x)≤M, то ∫(от a до b) mdx≤ ∫(от a до b) f(x)dx≤∫(от a до b) Mdx. Получаем: m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a). Геометрический смысл . Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть , а высоты равны m и M.

Билет №15

Билет №16

21. Производная функции u=u(x;y;z) по направлению l (определение). Предел LimΔl→0(Δu/Δl) называется производной функции u(x;y;z) по направлению вектора l в точке с координатами (x;y;z).

22. Градиент функции u=u(x;y;z) в точке (определение). Вектор с координатами (δu/δx; δu/δy; δu/δz) называется

Билет №17

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом (формулировка, доказательство). Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть (∫(от a до x) f(t)dt)" x =f(x). Доказательство . По формуле Ньютона-Лейбница имеем: ∫(от a до x) f(t)dt=F(t)|(от a до x)=F(x)-F(a). Следовательно, (∫(от a до x) f(t)dt)" x =(F(x)-F(a))" x =F"(x)-0=f(x). Это означает, что определённый интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

полное приращение непрерывной непрерывна

Билет №18

1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенный интеграл: определение, простейшие свойства неопределённого интеграла (с доказательством одно из них). Функция F(x) называется первообразной функцией f(x) на интервале (a;b), если для любого x∈(a;b) выполняется равенство F"(x)=f(x).Теорема . Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С=const.Доказательство . Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функция f(x), т.е. Ф"(х)=f(x). Тогда для любого x∈(a;b) имеем (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C, C=const. Следовательно, Ф(x)=F(x)+C.Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx.Свойства : 1) Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx)"=f(x).d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F"(x)dx=f(x)dx. и (∫f(x)dx)"=(F(x)+C)"=F"(x)+0=f(x).2) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: ∫dF(x)=F(x)+C.∫dF(x)=F"(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.4) Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.5) (Инвариантность формулы интегрирования). Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то и ∫f(u)du=F(u)+C, где u=φ(x) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

22. Градиент функции u=u(x;y;z) в точке (определение, свойства). Связь между производной по направлению и градиентом функции (обоснование). Вектор с координатами (δu/δx; δu/δy; δu/δz) называется градиентом функции u=f(x;y;z) и обозначается gradU=(δu/δx; δu/δy; δu/δz). gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Свойства : 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU, где u*v - скалярные произведения векторов u и v. Связь . Пусть задана функция u=u(x;y;z) и поле градиентов gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Тогда производная Δu/Δl по направлению некоторого вектора l равняется проекции вектора GradU на вектор l.

Билет №19

4. Определение определённого интеграла по отрезку. Основные свойства определённого интеграла по отрезку (с доказательством одно из них). Определённым интегралом по отрезку от функции f(x) называется предел интегральной суммы Σf(c i)Δx i , если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е ∫(от a до b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i .Свойства : 1)Если с - постоянное число и функция f(x) интегрируема на , то ∫(от a до b) с*f(x)dx=с*∫(от a до b) f(x)dx. Доказательство. Составим интегральную сумму для функции с*f(x). Имеем Σс*f(c i)Δx i =с*Σf(c i)Δx i . Тогда lim n→∞ Σс*f(c i)Δx i =c*lim n→∞ f(c i)=с*∫(от a до b) f(x)dx. Отсюда вытекает, что функция с*f(x) интегрируема на и справедлива формула ∫(от a до b) с*f(x)dx= с*∫(от a до b) f(x)dx.2)Если функции f 1 (x) b f 2 (x) интегрируемы на , тогда интегрируема на их сумма и ∫(от a до b) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫(от a до b) f 1 (x)dx+∫(от a до b) f 2 (x)dx. 3)∫(от a до b) f(x)dx= -∫(от b до a) f(x)dx. 4)Если функция f(x) интегрируема на и a

17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение). Теорема о существовании касательной плоскости (формулровка, доказательство). Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М 1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М 1 .Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости.Теорема . Если δF/δx; δF/δy; δF/δz определены в окрестности точки Мо и непрерывны в самой точке М 0 и одновременно в нуль не обращаются, то все касательные прямые к линиям на поверхности лежат в одной плоскости. Доказательство . L: система(x=x(t); y=y(t); z=z(t)). Касательная прямая (M 0 ;P) y=(x"(t 0); y"(t o); z"(t 0)). L∈Q (поверхность). F(x(t), y(t), z(t))=0 сложная функция переменной t. пользуемся правилом дифференцируемости сложной функции: (δF/δx)*(dx/dt)+(δF/δy)*(dy/dt)+(δF/δz)*(dz/dt)=0; (δF(M 0)/δx)*x"(t 0)+(δF(M 0)/δy)*y"(t 0)+(δF(M 0)/δz)*z"(t 0)=0; g=(x"(t 0),y"(t 0),z"(t 0)); обозначим n=(δF(M 0)/δx; δF(M 0)/δy; δF(M 0)/δz); n⊥g. Поскольку через данную точку можно провести бесконечное множество линий, лежащих на поверхности, а к ним бесконечное множество касательных прямых, следовательно все касательные прямые лежат в одной плоскости.

Билет №20

9. Полное приращение функции z=f(x;y). Непрерывность функции z=f(x;y) в точке (два определения). Пусть задана функция z=f(x;y). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, а переменной у приращение ∆у. Тогда полное приращение ∆z функции определяется равенством: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1)Функция z=f(х;у) называется непрерывной в точке М 0 (х 0 ;у 0)∈ D(z), если её предел в этой точке совпадает со значением функции в данной точке, т.е. limX→X 0 \Y→Y 0 (f(x;y))= f(x 0 ;y 0). 2)Функция z=f(х;у) непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества

Билет №21

21. Производная функции u=u(x;y;z) по направлению l (определение, формула для вычисления, вывод формулы вычисления). Предел LimΔl→0(Δu/Δl) называется производной функции u(x;y;z) по направлению вектора l в точке с координатами (x;y;z).Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.Предположим, что функция u(x;y;z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz, где E 1 , E 2 , E 3 стремятся к нулю при Δl→0. Разделим всё равенство на Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. Равенство можно представить так: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. Перейдя к пределу, получим Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

Билет №22

20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка). Пусть в стационарной точке (X 0 ;Y 0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X 0 ;Y 0) значения A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy (X 0 ;Y 0). Обозначим Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если Δ>0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) имеет экстремум: максимум, если A<0; минимум, если A>0; 2)если Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Билет №23

17. Касательная плоскость к поверхности (определение). Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М 1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М 1 .

18. Уравнения касательной плоскости к поверхности, заданной явно Явно. z=f(x;y) в точке Mo(Xo;Yo;Zo). K: (δz/δx)|M 0 (X-X 0)+(δz/δy)|M 0 (Y-Y 0)-(Z-Z 0)=0

Билет №24

Признаки локального возрастания и убывания функции.

Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.

Достаточный признак возрастания функции . Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции . Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х 1 и x 2 из интервала. Пусть x 1 существует число с∈(х 1 , x 2 ), такое, что

(1)

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х 1 и x 2 принадлежат I. Если f"(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x 1 )) — это следует из формулы (1), так как x 2 — x 1 >0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (х 2 ) — следует из формулы (1), так как x 2 —x 1 >0. Доказано убывание функции f на I.

Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f"(t) (см. Мгновенная скорость ). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t 1 ). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.

Замечание 1.

Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

Замечание 2.

Для решения неравенств f" (х)>0 и f" (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке.

Необходимое условие экстремума

Функция g(x) в точке имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области: , выполнено соответственно неравенство

(в случае максимума) или (в случае минимума).

Экстремум функции находиться из условия: , если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие :

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом

Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точкепервая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точкаэкстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

Другими словами:

Алгоритм.

Находим область определения функции.

Находим производную функции на области определения.

Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.

Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x = 2 .
Находим производную:

Нулями числителя являются точки x = -1 и x = 5 , знаменатель обращается в ноль при x = 2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x = -2, x = 0, x = 3 и x = 6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x = -1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x = -1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .
В точке x = 5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x = -1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .
Графическая иллюстрация.

Ответ: .

Второй достаточный признак экстремума функции.
Пусть ,

если , то - точка минимума;

если , то - точка максимума.

Как видите, этот признак требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Начнем с области определения:

Продифференцируем исходную функцию:

Производная обращается в ноль при x = 1 , то есть, это точка возможного экстремума.
Находим вторую производную функции и вычисляем ее значение при x = 1 :

Следовательно, по второму достаточному условию экстремума, x = 1 - точка максимума. Тогда - максимум функции.
Графическая иллюстрация.

Ответ: .
Третий достаточный признак экстремума функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производные до n -ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1 -ого порядка в самой точке . Пусть и .
Тогда,

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства

Понятие матрица операции над матрицами и их свойства.. матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя.. а сложение матриц поэлементная операция..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение дифференцируемости
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, и

Правило дифференцирования
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной
Углом наклона прямой y = kx+b называют угол, отсчитываемый от полож

Геометрический смысл производной функции в точке
Рассмотрим секущую АВ графика функции y = f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты

Решение
Функция определена для всех действительных чисел. Так как (-1; -3) – точка касания, то

Необходимые условия экстремума и достаточные условия экстремума
Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых

Условия монотонности и постоянства функции
Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каж

Определение первообразной
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство

Проверка
Для проверки результата продифференцируем полученное выражение: В итоге получи

Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции являе

Определение
Пусть определена на

Геометрический смысл
Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми

Свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла. Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирован

Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством)
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо рав