Методы исследования линейных систем. Точные методы исследования нелинейных сау

29.07.2020 -

Предмет:

"Теория автоматического управления"

Тема:

"Методы исследования нелинейных систем"

1. Метод дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение замкнутой нелинейной системы n-го порядка (рис. 1) можно преобразовать к системе n-дифференциальных уравнений первого порядка в виде:

где: – переменные, характеризующие поведение системы (одна из них может быть регулируемая величина); – нелинейные функции; u – задающее воздействие.

Обычно, эти уравнения записываются в конечных разностях:

где – начальные условия.

Если отклонения не большие, то эту систему можно решать, как систему алгебраических уравнений. Решение можно представить графически.

2. Метод фазового пространства

Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0).

Движение системы определяется изменением ее координат - в функции времени. Значения в любой момент времени характеризует состояние (фазу) системы и определяет координаты системы имеющей n – осей и могут быть представлены как координаты некоторой (изображающей) точки М (рис. 2).

Фазовым пространством называется пространство координат системы.

С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией . Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом . Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).

Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.

Фазовый портрет полностью характеризует нелинейную систему. Характерной особенностью нелинейных систем является наличие различных типов движений, нескольких состояний равновесия, наличие предельных циклов.

Метод фазового пространства является фундаментальным методом исследования нелинейных систем. Исследовать нелинейных систем на фазовой плоскости гораздо проще и удобнее, чем с помощью построения графиков переходных процессов во временной области.

Геометрические построения в пространстве менее наглядны, чем построения на плоскости, когда система имеет второй порядок, при этом применяется метод фазовой плоскости.

Применение метода фазовой плоскости для линейных систем

Проанализируем связь между характером переходного процесса и кривыми фазовых траекторий. Фазовые траектории могут быть получены либо путем интегрирования уравнения фазовой траектории, либо путем решения исходного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Пусть задана система (рис. 3).

Рассмотрим свободное движение системы. Приэтом: U(t)=0, e(t)=– x(t)

В общем виде дифференциальное уравнение имеет вид

где (1)

Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка его характеристическое уравнение равно

. (2)

Корни характеристического уравнения определяются из соотношений

(3)

Представим дифференциальное уравнение 2-го порядка в виде системы

уравнений 1-го порядка:

(4)

где скорость изменения регулируемой величины.

В рассматриваемой линейной системе переменные x и y представляют собой фазовые координаты. Фазовый портрет строим в пространстве координат x и y, т.е. на фазовой плоскости.

Если исключим время из уравнения (1), то получим уравнение интегральных кривых или фазовых траекторий.

. (5)

Это уравнение с разделяющимися переменными

Рассмотрим несколько случаев

1. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

(т.е. ). (7)

При этом переходной процесс описывается уравнениями

x = A sin (wt+j), (8)

y = Aw cos (wt+j),

т.е. представляет собой незатухающие колебания с постоянной амплитудой А и начальной фазой – j.

На фазовой плоскости (рис. 4) эти уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и wA (где A – постоянная интегрирования).

Если обозначить

Уравнение эллипса можно получить решением уравнения фазовых траекторий

(9)

Состояние равновесия определяется из условия

при этом x 0 = y 0 = 0.

Особая точка называется "центр" и соответствует устойчивому равновесию, так как фазовые траектории от нее не удаляются.

2. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

При этом переходной процесс описывается уравнениями:

Из уравнения фазовых траекторий получим уравнение

Это уравнение семейства гипербол при изменении A (рис 5).

Особая точка называется "седло". Уравнения асимптот (сепаратрис) при А = 0 имеют вид:

3. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

Фазовая траектория имеет вид сворачивающейся спирали (рис. 6), а точка равновесия называется "устойчивый фокус".

4. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

(12)

Переходный процесс представляет собой расходящиеся колебания, фазовая траектория – разворачивающаяся спираль. Особая точка называется "неустойчивый фокус" (рис. 7).

5. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

(13)

Переходный процесс имеет апериодический характер. Особая точка называется "устойчивый узел" (рис. 8).

6. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

(14)

Особая точка называется "неустойчивый узел" (рис. 9).

4. Методы построения фазовых портретов

Для построения фазовых портретов можно использовать различные методы: метод дифференциальных уравнений, метод изоклин, и др.

Метод дифференциальных уравнений . Сущность метода заключается в том, что по дифференциальным уравнениям отдельных участков нелинейного элемента строят соответствующие фазовые портреты на плоскости.

Метод изоклин – это метод линий постоянного наклона.

Пусть даны уравнения нелинейной системы:

(15)

где: – произвольные функции.

Чтобы получить фазовый портрет исключим время:

. (16)

Пусть , при этом – это уравнение линии в плоскости (x 0 y). Каждому значению константы с соответствует некоторая линия, обладающая следующим свойством: в каждой точке линии , т.е. если фазовая траектория пересекает изоклину, то она имеет постоянный наклон рис. 10.

Если провести достаточное число таких линий с соответствующими наклонами, то можно построить фазовый портрет системы. При этом точность зависит от числа изоклин. Направление движения определяется по правилу: если производная , x >0, то движение такое, что x возрастает.

5. Построение фазового портрета нелинейной системы

Рассмотрим релейную следящую систему, схема которой приведена на рис. 11.

x 1 НЭ У U пит Д ТГ P U 0

Если a¹b на вход НЭ с релейной характеристикой (рис. 12) подается сигнал При этом: b – угол поворота задающей оси; a – угол поворота отрабатывающего потенциометра.

– a 2 – a 1

Вследствие этого на двигатель подается напряжение ±, двигатель вращается в определенном направлении в соответствии с полярностью подаваемого напряжения до тех пор, пока оно не станет равным нулю.

Для улучшения качества переходного процесса в систему может быть включена отрицательная обратная связь по скорости двигателя с помощью тахогенератора (ТГ).

Запишем уравнения элементов системы. Для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

(17)

Так как поток возбуждения = const, то . Допустим, момент нагрузки мал, при этом =0.

Передаточную функцию для якорной цепи K 1 (p) можно получить из ее дифференциального уравнения

(18)

Для редуктора и угла поворота вала двигателя

(19)

Для тахогенератора

. (20)

На основании функциональной схемы и полученных передаточных функций элементов системы составляем структурную схему рис. 13

Для построения фазового портрета необходимо записать систему дифференциальных уравнений.

Рассмотрим свободное движение системы (b=0) при этом x = a.

Дифференциальное уравнение нелинейной системы имеет вид

(21)

Представим уравнение в виде системы уравнений:

(22)

Построим фазовый портрет. Для простоты построения фазового портрета делаем некоторые упрощения:

1) Пусть обратная связь по скорости – отсутствует (К = 0).

2) Характеристика нелинейного элемента однозначна (рис. 14).

При этом:

(23)

С учетом принятых допущений система уравнений упрощается.

(24)

Построим характеристику для каждой зоны.

Пусть – a £ x £ a, ¦(x) = 0.

При этом исходная система имеет вид:

(25)

Решение этого уравнения имеет вид , т.е. наклон фазовых траекторий всюду постоянный (отрицательный).

Определим равновесное состояние системы из условия:

(26)

Это условие выполняется при y = 0, т.е. точка вырождается в прямую линию y = 0 на интервале [– а, а]. Фазовые траектории на участке – а< x < a представляют собой прямые с коэффициентом наклона -1/Т 1 при различных значениях начальных условий.

На прямых линиях проставляем стрелки таким образом, чтобы конечное движение стремилось к началу координат.

Пусть х > a, . При этом исходная система нелинейных уравнений имеет вид

(27)

где c i - семейство изоклин, которое представляет собой прямые параллельные оси х, т.е. , где определяется из выражения для

. (28)

Таким образом

. (29)

Задаваясь значениями , строим семейство изоклин. Определяем углы пересечения изоклин фазовыми траекториями.

Так как . Например, если , то a = 90°.

Пусть х < – a, . Построение выполняем аналогично, так как знак изменился, то будут другие углы пересечений изоклин фазовой траекторией. Фазовый портрет системы приведен на рис. 15.

Рис. 14 Рис. 15

Снимем упрощение К = 0, т.е. рассмотрим влияние отрицательной обратной связи по скорости двигателя на характер фазовой траектории.

При этом уравнения имеют вид:

(30)

Пусть , при этом переключение будет происходить при условии (а не условии х = а), это уравнение линии (рис. 16)

При этом количество перерегулирований уменьшается; можно подобрать такой наклон, при котором нет переколебаний.

Рассмотрим фазовый портрет без ограничений. В системе без ограничений фазовый портрет можно представить на трехлистной поверхности с наклонными гранями (рис. 17.) При этом лист 2 соответствует зоне нечувствительности z=0, лист 1 соответствует отрицательным значениям z, а лист 3 положительным. Вследствие гистерезиса имеет место частичное наложение листов.

Рис. 16 Рис. 17

Исследуем систему. Исследуем влияние отрицательной обратной связи по скорости двигателя (т.е. влияние величины – К). Пусть значение К увеличивается, при этом наклон прямых уменьшается, и может получиться, что срез будет более пологим чем наклон характеристики в средней части. Это приводит к частым переключениям. Такой режим называется скользящим. Если зона очень узкая, то движение как бы соскальзывает к установившемуся режиму (рис. 18а).

Если изменить знак обратной связи с отрицательной связи на положительную связь, то при этом изменится наклон линий переключения, и количество колебаний будет увеличиваться, система будет "раскачиваться". Система работает, как генератор и может появиться либо замкнутый цикл – автоколебания, либо расходящийся переходный процесс (рис. 18б).

Достоинства метода: простота и наглядность для систем 2-го порядка; пригодность для любого типа нелинейных элементов.

Недостатки: метод громоздкий для систем выше 2-го порядка, поэтому при n >2 не применяется.

Рассмотрим несколько примеров построения фазовых портретов нелинейных систем управления

Пример 1. Пусть задана система, состоящая из линейной части и нелинейного элемента (усилитель с ограничением по модулю) (рис. 19). Это кусочно-линейная система, так как на отдельных участках она ведет себя как линейная (в области) – а, +а[). Допустим в области (] – а, +а[) коэффициент усиления большой и система неустойчива а фазовый портрет характеризуется особой точкой "неустойчивый фокус". За пределами области коэффициент усиления мал, допустим, что при этом система устойчива и характеризуется особой точкой – "устойчивый фокус".

При больших отклонениях x > |a| общий коэффициент усиления системы мал, система устойчива, процесс затухает.

При малых отклонениях общий коэффициент усиления системы большой – процесс расходится к замкнутой траектории, которая характеризует наличие устойчивых автоколебаний (рис. 20).

В этой системе три типа движений: автоколебания; сходящиеся колебания; расходящиеся колебания

Пример 2. Пусть задана система с характеристикой нелинейного звена типа "зона нечувствительности" (рис. 21). Необходимо построить фазовый

портрет данной системы, определить наличие предельных циклов и проанализировать их устойчивость.

Построим фазовый портрет

1) При – a < x < +a f(x) = 0, а система уравнений имеет вид

Фазовый портрет в этой области представляет семейство прямых с коэффициентом к = -1, а состояние равновесия устойчиво по Ляпунову и представляет отрезок оси y = 0 на интервале – a

2) При x > +a f(x) = x – a, а система уравнений имеет вид

и угол пересечения фазовой траекторией изоклины по формуле a = arctg c, результаты приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1

Таблица 2

3) При x < – a f(x) = x + a, а система уравнений имеет вид

Пример 4. Для заданной системы (рис. 26) построить примерный фазовый портрет.

Исходную схему можно представить в виде (рис. 27).

Построим фазовый портрет.

1) При –1 < x < +1 f(x) = x, а система уравнений имеет вид

Для каждого с i определимугловой коэффициент наклона изоклины – к по формуле

2) При x > +1 f(x) = 1, а система уравнений имеет вид

Для каждого с i определимугловой коэффициент наклона изоклины – к по формуле и угол пересечения фазовой траекторией изоклины по формуле a = arctg c.

3) При x < -1 f(x) = -1.

Левая часть фазового портрета строится аналогично правой.

Литература

1. Атабеков Г.И., Тимофеев А.Б., Купалян С.Д., Хухриков С.С. Теоретические основы электротехники (ТОЭ). Нелинейные электрические цепи. Электромагнитное поле. 5-е изд. Изд-во: ЛАНЬ, 2005. – 432 с.

2. Гаврилов Нелинейные цепи в программах схемотехнического моделирования. Изд-во: СОЛОН-ПРЕСС, 2002. – 368 с.

3. Дорф Р., Бишоп Р. Автоматика. Современные системы управления. 2002 г. – 832 с.

4. Теория автоматического управления. Учеб. для вузов по спец. "Автоматика и телемеханика". В 2-х ч./ Н.А. Бабаков, А.А. Воронов и др.: Под ред. А.А. Воронова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 367 с., ил.

5. Харазов В.Г. Интегрированные системы управления технологическими процессами: Справочник. Издательство: ПРОФЕССИЯ, ИЗДАТЕЛЬСТВО, 2009. – 550 с.

Практически все системы управления, строго говоря, являются нелинейными, т.е. описываются нелинейными уравнениями. Линейные системы управления являются их линейными моделями, которые получаются путем обычной линеаризации - линеаризации, состоящей в разложении нелинейных функций в ряд Тейлора и отбрасывании нелинейных слагаемых. Однако такая линеаризация не всегда возможна. Если нелинейность допускает обычную линеаризацию, то такая нелинейность называется несущественной. В противном случае нелинейность называется существенной. Существенными нелинейностями обладают всякого рода релейные элементы. Даже в тех случаях, когда обычная линеаризация возможна, часто на конечном этапе исследования может потребоваться рассмотрение исходной нелинейной модели.

Нелинейной системой автоматического регулирования называют такую систему, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением.

Виды нелинейных звеньев:

звено релейного типа;

звено с кусочно-линейной характеристикой;

звено с криволинейной характеристикой любого очертания;

звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации;

нелинейное звено с запаздыванием;

нелинейное импульсное звено;

логическое звено;

звенья, описываемые кусочно-линейными ДУ, в том числе с переменной структурой.

На рис. 2.1 представлены релейные характеристики разных видов:

характеристика идеального реле (а);

характеристика реле с зоной нечувствительности (б);

характеристика реле с гистерезисом (в);

характеристика реле с зоной нечувствительности и гистерезисом (г);

характеристика квантования по уровню (д).

На рис. 2.2 представлены кусочно-линейные характеристики:

кусочно-линейная характеристика с насыщением (а);

кусочно-линейная характеристика с зоной нечувствительности и насыщением (б)

кусочно-линейная характеристика с зоной нечувствительности (в);

люфт (характеристика звена с люфтом) (г);

диодная характеристика (д);

кусочно-линейная характеристика с гистерезисом и насыщением (е).

Различаются статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, вторые – в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Привод регулирующего органа, каким бы он ни был (электрическим, гидравлическим или пневматическим) всегда имеет, во-первых, зону нечувствительности в начале координат; во-вторых, зону насыщения по краям. Кроме того, может иметь место еще гистерезис. Также существуют приводы с постоянной скоростью, относящиеся к звеньям релейного типа.

Зона нечувствительности выражается тем, что двигатель имеет определенный минимальный ток трогания, до достижения которого двигатель будет неподвижен.

ГИСТЕРЕЗИС (от греч. hysteresis - отставание, запаздывание), явление, которое состоит в том, что физ. величина, характеризующая состояние тела (напр., намагниченность), неоднозначно зависит от физ. величины, характеризующей внешние условия (напр., магнитного поля). Г. наблюдается в тех случаях, когда состояние тела в данный момент времени определяется внешними условиями не только в тот же, но и в предшествующие моменты времени. Неоднозначная зависимость величин наблюдается в любых процессах, т. к. для изменения состояния тела всегда требуется определённое время (время релаксации) и реакция тела отстаёт от вызывающих её причин.

Нелинейные системы по сравнению с линейными обладают рядом принципиальных особенностей. В частности, такими особенностями является следующее:

Не выполняется принцип суперпозиции, и исследование нелинейной системы при нескольких воздействиях нельзя сводить к исследованию при одном воздействии;

Устойчивость и характер переходного процесса зависят от величины начального отклонения от положения равновесия;

При фиксированных внешних воздействиях возможны несколько (а иногда и бесконечное множество) положений равновесия;

Возникают свободные установившиеся процессы, которые в линейных системах невозможны (например, автоколебания).

Универсальных аналитических (математических) методов исследования нелинейных систем нет. В процессе развития теории автоматического управления были разработаны различные математические методы анализа и синтеза нелинейных систем, каждый из которых применим для определенного класса систем и задач. Наиболее широко используемыми методами исследования нелинейных систем являются:

Метод фазовой плоскости;

Метод функций Ляпунова;

Метод гармонической линеаризации (метод гармонического баланса) ;

Методы исследования абсолютной устойчивости.

Любое исследование более или менее сложных нелинейных систем, как привило, заканчивается математическим моделированием. И в этом отношении математическое моделирование является одним из универсальных (неаналитических) методов исследования.

Фазовая плоскость

Если уравнения системы управления представлены в нормальной форме, то вектор состояния системы однозначно определяет ее состояние. Каждому состоянию системы в пространстве состояний соответствует точка. Точка, соответствующая текущему состоянию системы, называется изображающей точкой. При изменении состояния изображающая точка описывает траекторию. Эта траектория называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, соответствующая всевозможным начальным условиям, называется фазовым портретом.

Наглядно фазовую траекторию и фазовый портрет можно представить в случае двухмерного фазового пространства. Двухмерное фазовое пространство называется фазовой плоскостью.

Фазовая плоскость - это координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка.

Метод анализа и синтеза системы управления, основанный на построении фазового портрета, называют методом фазовой плоскости.

По фазовому портрету можно судить о характере переходных процессов. В частности, по фазовой траектории можно построить без расчетов качественно временную характеристику - кривую зависимости х от времени, и, наоборот, по временной характеристике можно качественно построить фазовую траекторию.

В качестве примера сначала по фазовой траектории построим временную характеристику, а затем по временной характеристике - фазовую траекторию. Пусть задана фазовая траектория (рис. 2.4, а).

Отметив на ней характерные точки (начальную точку, точки пересечения с осями координат), нанесем соответствующие им точки на временной плоскости и соединим их плавной кривой (рис. 2.4, б).

Пусть теперь задана временная характеристика (рис. 2.5, а). Отметив на ней характерные точки (начальную точку, точки экстремума и точки пересечения с временной осью), нанесем соответствующие им точки на фазовую плоскость и соединим их плавной кривой

(рис. 2.5,6).

Фазовые портреты нелинейных систем могут содержать тип особой кривой - изолированные замкнутые траектории. Эти кривые называются предельными циклами . Если изнутри и снаружи фазовые траектории сходятся к предельному циклу (рис. 2.8, а),

то такой предельный цикл называется устойчивым предельным циклом. Устойчивому предельному циклу соответствует асимптотически орбитально-устойчивое периодическое движение (автоколебания).

Если фазовые траектории изнутри и снаружи предельного цикла удаляются от него (рис. 2.8,6), такой предельный цикл называется неустойчивым предельным циклом. Периодический процесс, соответствующий неустойчивому предельному циклу, нельзя наблюдать.

Если движение начинается внутри такого предельного цикла, то процесс сходится к положению равновесия. Если движение начинается вне такого предельного цикла, то процесс расходится. Неустойчивый предельный цикл служит границей области притяжения, или границей устойчивости положения равновесия (начала координат).

Возможны два предельных цикла (рис. 2.8, в, г). Внутренний пре-

предельный цикл на рис. 2.8, в устойчив, и ему соответствуют автоколебания, а наружный предельный цикл неустойчив и является границей области автоколебаний: автоколебания возникают при любых начальных отклонениях, не выходящих за наружный предельный цикл.

Наружный предельный цикл на рис. 2.8, г является устойчивым и соответствует автоколебаниям, а внутренний предельный цикл является неустойчивым и является границей области притяжения положения равновесия. В системе с таким фазовым портретом автоколебания возникают при достаточно большом отклонении системы от положения равновесия - отклонении, выходящем за пределы внутреннего предельного цикла. Если движение системы начинается внутри неустойчивого предельного цикла, то она приближается к положению равновесия.

Метод гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации, или метод гармонического баланса, первоначально был разработан для исследования периодического режима. Однако в дальнейшем он стал использоваться также для анализа устойчивости и синтеза нелинейных систем.

Основная идея метода состоит в следующем. Управляемые системы (объекты), как правило, обладают свойством фильтра низких частот: при возникновении периодических режимов они не пропускают или пропускают с большим ослаблением вторые и более высокие гармоники. И суть метода гармонической линеаризации состоит в описании нелинейного звена линейным уравнением, которое получается при пренебрежении (отбрасывании) указанными гармониками в разложении нелинейной функции в ряд Фурье.

Метод гармонической линеаризации является приближенным методом. Однако его достоинством является то, что он применим для систем любого порядка, в отличие от метода фазовой плоскости, который может быть эффективно применен только к системам 2-го порядка.

Метод Гольдфарба (метод исследования симметричных автоколебаний)

Метод функций Ляпунова

Метод исследований, основанный на построении функции Ляпунова, включая прямой метод Ляпунова, стали называть методом функций Ляпунова.

Метод исследования абсолютной устойчивости

Впервые задача об абсолютной устойчивости была рассмотрена А. И. Лурье, и ее иногда называют задачей Лурье. Им был разработан метод решения этой задачи, основанный на построении функции Ляпунова. В 1961г. румынский ученый В.М. Попов опубликовал работу, в которой изложил частотный метод решения этой проблемы. Это повлекло за собой появление большого потока работ в этом направлении.

Для заданий:

Связь переходного процесса и фазового портрета:

(Бесекерский-Попов стр 595 много всего)

"Теория автоматического управления"

"Методы исследования нелинейных систем"

1. Метод дифференциальных уравнений

Обычно, эти уравнения записываются в конечных разностях:

где – начальные условия.

2. Метод фазового пространства

Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0).

Фазовым пространством называется пространство координат системы.

С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией. Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом. Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).

Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.

Применение метода фазовой плоскости для линейных систем

Пусть задана система (рис. 3).

Рассмотрим свободное движение системы. При этом: U(t)=0, e(t)=– x(t)

В общем виде дифференциальное уравнение имеет вид

где (1)

Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка его характеристическое уравнение равно

. (2)

Корни характеристического уравнения определяются из соотношений

(3)

Представим дифференциальное уравнение 2-го порядка в виде системы

уравнений 1-го порядка:

(4)

где скорость изменения регулируемой величины.

Если исключим время из уравнения (1), то получим уравнение интегральных кривых или фазовых траекторий.

. (5)

Это уравнение с разделяющимися переменными

Рассмотрим несколько случаев

Файлов GB_prog.m и GB_mod.mdl, а анализ спектрального состава периодического режима на выходе линейной части – при помощи файлов GB_prog.m и R_Fourie.mdl. Cодержание файла GB_prog.m: %Исследование нелинейных систем методом гармонического баланса %Используемые файлы: GB_prog.m, GB_mod.mdl и R_Fourie.mdl. %Используемые обозначениЯ: НЭ – нелинейный элемент, ЛЧ – линейнаЯ часть. %Очистка всех...

Безынерционный в допустимом (ограниченном сверху) диапазоне частот, при выходе за пределы которого он переходит в разряд инерционных. В зависимости от вида характеристик различают нелинейные элементы с симметричными и несимметричными характеристиками. Симметричной называется характеристика, не зависящая от направления определяющих ее величин, т.е. имеющая симметрию относительно начала системы...

Система считается нелинейной, если её порядок >2 (n>2).

Исследование линейных систем высокого порядка связанно с преодолением значительных математических трудностей, так как несуществует общих методов решения нелинейных уравнений. При анализе движения нелинейных систем применяют методы численного и графического интегрирования, которые позволяют получать только одно частное решение.

Методы исследования разделяются на две группы. Первая группа – это методы основанные на поиске точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Вторая группа – это приближенные методы.

Разработка точных методов важна как с точки зрения получения непосредственных результатов, так и для исследования различных особых режимов и форм динамических процессов нелинейных систем, которые не могут быть выявлены и проанализированы приближенными методами. К точным методам относятся:

1. Прямой метод Ляпунова

2. Методы фазовой плоскости

3. Метод припасовывания

4. Метод точечных преобразований

5. Метод сечений пространства параметров

6. Частотный метод определения абсолютной устойчивости

Для решений многих теоретических и практических задач применяется дискретная и аналоговая вычислительная техника, позволяющая использовать методы математического моделирования в сочетании с полунатурным и натурным моделированием. В этом случае вычислительная техника стыкуется с реальными элементами систем управления, со всеми присущими им нелинейностями.

К приближенным относятся аналитические и графо-аналитические методы, позволяющие заменить нелинейную систему эквивалентной линейной моделью, с последующим использованием для ее иследования методов линейной теории динамических систем.

Существует две группы приближенных методов.

Первая группа основывается на предположение о близости исследуемой нелинейной системы по ее свойствам к линейной. Это методы малого параметра, когда движение системы описывается с помощью степенных рядов относительно некоторого малого параметра, который имеется в уровнениях системы, или который вводится в эти уровнения искусственно.

Вторая группа методов направлены на исследования собственных периодических колебаний системы. Она основывается на предположении близости искомых колебаний системы к гармоническим. Это методы гармонического баланса или гармонической линеализации. При их использовании производится условная замена нелинейного элемента, находящегося под действием гармонического входного сигнала, эквивалентным линейным элементам. Аналитическое обоснование гармонической линеализации основывается на принципе равенства частотных, аплитудных и фазовых выходных переменных, эквивалентного линейного элемента и первой гармоники выходной переменной реального нелинейного элемента.

Наибольший эффект дает разумное сочетание приближенных и точных методов.

Критерий устойчивости Попова В.М.

(румынский ученый)

Это частотный метод исследования устойчивости НЛ САУ с однозначной нелинейностью, удовлетворяющей условию

Рассматривается устойчивость положения равновесия

Достаточные условия абсолютной устойчивости таких систем сформулированы Поповым В.М.

1.Вводится передаточная функция

Предполагается, что
соответствует асимптотически устойчивой системе (проверяется по любому из критериев устойчивости).

2.Находится частотная характеристика
.

3.Строится видоизмененная частотная характеристика
,

которая определяется соотношением

Re
=Re
,

Im
= .

4.На комплексной плоскости строится
.

Критерий Попова:

Если через точку
на действительной оси можно провести прямую линию так, чтобы видоизмененная АФЧХ
лежала по одну сторону от этой прямой, то замкнутая НЛ САУбудет абсолютно устойчива.

Пример. Исследовать абсолютную устойчивость НЛ САУ со структурной схемой рис.1, если

Так как все в характеристическом уравнении 2-го порядка больше нуля, то
- асимптотически устойчива и, следовательно, условие (1) критерия устойчивости Попова выполняется.

Re
=Re
=

Im
=Im
=

Строим АФЧХ
.

Асимптотическая устойчивость для специального вида

нелинейных характеристик

1.Неоднозначная нелинейная характеристика

Состояние покоя будет абсолютно устойчивым, если

1.
соответствует асимптотически устойчивой системе.

2.Система с релейной характеристикой

r =0 . Это частный случай рассмотренной выше характеристики.

Достаточное условие абсолютной устойчивости – вместо условия (2)

3.Нелинейность типа реле

1.
- асимптотически устойчива.

2.Im

Абсолютная устойчивость процессов

Рассмотрим теперь устойчивость не систем стабилизации (номинальный режим – состояние покоя), а случай, когда номинальный режим характеризуется входным сигналом
и выходным сигналом
, которые являютсяограниченными непрерывными функциями времени.

Будем предполагать, что нелинейный элемент имеет вид
, где
- непрерывная однозначная функция, удовлетворяющая условию

т.е. ограничена скорость изменения нелинейной характеристики. Это достаточно жесткое условие.

В этом случае для обеспечения абсолютной устойчивости ограниченного процесса
,
достаточно, чтобы выполнялись условия6

1.
- было асимптотически устойчива.

2.
.

В частном случае, когда r =0

или

Теория, связанная с развитием идей Попова еще не закончена, здесь возможны новые более сильные результаты. Сводка таких результатов на сегодняшний день имеется в книге Наумова «Нелинейные системы автоматического управления».

Приближенные методы исследования нелинейных сау

Метод гармонического баланса

При исследовании НЛ САУ иногда можно наблюдать появление периодических изменений выходной величины у(t ) даже в тех случаях, когда
Если при изучении САУ ограничитьсялинейной моделью с постоянными коэффициентами, то указанное явление (собственные колебания) может иметь место только при наличии в характеристическом уравнении чисто мнимых корней
.

Однако при таком объяснении малое изменение параметров системы «сдвинет» корень с мнимой оси налево или направо и собственные колебания либо затухают либо раскачиваются. На практике же в нелинейных системах периодические колебания выходного сигнала сохраняются при малых изменениях параметров системы.

Такого рода незатухающие колебания объясняются нелинейным характером системы. Они называются автоколебаниями.

Рассмотрим метод гармонического баланса, который позволяет по взаимному протеканию АФЧХ линейной части и и характеристики нелинейного элемента определить наличие или отсутствия автоколебаний.

Рассмотрим одноконтурную систему, в которой выделяется нелинейный элемент

(1)

и линейная часть с передаточной функцией
.

Предполагается:

1.
соответствует устойчивой системе,

2. нелинейная характеристика
- нечетная симметричная, т.е.

3.входной сигнал
, т.е. это система стабилизации.

Будем искать выходной сигнал у(t ) в виде

, (2)

где - амплитуда автоколебаний,

- частота автоколебаний.

и надо определить.

Гипотеза о синусоидальном характере у(t ) выглядит произвольной. Однако далее будут приведены условия, при выполнении которых эта гипотеза становится естественной.

Поскольку
,(3)

Пропустим сигнал
последовательно через нелинейный элемент и линейную часть и найдем уравнения, их которых можно будет определить амплитудуи частотуавтоколебаний в НЛ САУ.

Прохождение
через линейный элемент

Так как
- периодическая функция, то сигнал
на выходе нелинейного элемента также будет периодической функцией, но отличной от синусоиды.

Спектр
Спектр

Как известно, любая периодическая функция может быть представлена рядом Фурье:

(4)

Мы предполагаем, что свободный член в формуле (4) равен нулю. Это будет иметь место, например, когда характеристика нелинейного элемента удовлетворяет условию

, т.е это нечетная функция.

Здесь коэффициенты Фурье иопределяются:

(5)

Преобразуем (4) , умножив и поделив каждый член в правой части на
(6)

Напомним, что

(8)

Таким образом при прохождении сигала
через нелинейный элемент, на выходе нелинейного элемента сигал
содержит множество гармоник, кратных. (см. рисунок выше).

Прохождение сигнала
через линейную часть

Из теории линейных систем мы знаем, что если на вход линейного звена с передаточной функцией
, соответствующей устойчивой системе, подать гармонический сигналто в установившемся режиме на выходе этого звена будет сигнал.

Здесь
- модуль частотной характеристики
в точке,

аргумент
.

Используя эти соотношения, мы можем выписать выражения для
, пропуская по отдельности через линейную часть все составляющие ряда (8) и суммируя затем полученные выражения для

В силу линейности системы такая процедура законна.

Получим, полагая
:

Полученное выражение (9) для
имеет достаточно сложную структуру. Его можно существенно упростить, используягипотезу фильтра.

Изучая частотные характеристики типовых элементарных звеньев, мы видели, что их АЧХ стремятся к нулю при

Гипотеза фильтра состоит в том, что АЧХ в правой части (9) убывает с ростом частоты настолько быстро, что в (9) можно учитывать лишь первый член, соответствующий к=1 , и считать остальные члены пренебрежимо малыми. Другими словами – гипотеза фильтра – это гипотеза о том, что линейная часть САУ практически не пропускает высокочастотные колебания. Поэтому формула (9) (и в этом состоит приближенность метода) упрощается следующим образом:

Таким образом, при замыкании системы в предположении гипотезы фильтра мы получим баланс гармоник (отсюда и название метода – метод гармонического баланса)

Рассмотрим как с помощью метода гармонического баланса определить амплитуду а и частоту автоколебаний.

Введем понятие эквивалентной передаточной функции нелинейного элемента:

(11)

Если
(а это имеет место при однозначных симметричных нелинейных характеристиках), то

(12)

Характеристическое уравнение замкнутой САУ (рис.1) имеет вид:

или частотная характеристика

(13)

(14)

Представим

Тогда уравнение (14) перепишется:

=
(17)

Равенство (14) или (17) является основой графо-аналитического метода определения параметров автоколебаний а и .

На комплексной плоскости строится АФЧХ линейной части

и характеристика нелинейного элемента

Если кривые пересекаются, то в САУ существуют автоколебания.

Частота автоколебаний в точке пересечения кривых по
, а амплитуда- по
.

Рассмотрим подробнее выделенный участок

Мы знаем амплитуду и частоту точек, ближайших к точке пересечения кривых. Амплитуду и частоту в точке пересечения можно определить, например, методом деления отрезка пополам.

Метод гармонической линеаризации

Это очень эффективный приближенный метод определения периодических колебаний в НЛ САУ.

Для применения метода гармонической линеаризации нелинейности необходимо выполнение требования – линейная часть должна обладать свойствами фильтра, т.е. она не должна пропускать высокие частоты.

На практике это требование обычно выполняется.

Пусть имеется нелинейный элемент

(1)

Пусть
(2)

Тогда
(3)

Разложим (1) в ряд Фурье:

Напомним, нелинейная функция F (x ) , разложенная в ряд Фурье, имеет вид:

,
,

Тогда ряд Фурье для нашей нелинейности будет иметь вид:

++высшие гармоники (4)

Положим постоянную составляющую

Из уравнения (2):

Из уравнения (3):

Тогда уравнение (4) можно переписать:

В уравнении (5) пренебрегаем высокими частотами и в этом приближенность метода.

Таким образом, нелинейный элемент при
заменяется линеаризованным выражением (5), которое при выполнении гипотезы фильтра линейной части принимает вид:

(6)

Эта процедура называется гармонической линеаризацией.

Коэффициенты
и
припостоянных а и . В динамическом же режиме, когда изменяютсяа и , коэффициенты
и
будут изменяться. В этом отличие гармонической линеаризации от обычной. (При обычной линеаризации коэффициент линеаризованного уравненияК зависит от точки линеаризации). Зависимость коэффициентов линеаризации от а и позволяет применить к НЛ САУ (6) методы исследования линейных систем и анализировать свойства НЛ САУ, которые не могут быть обнаружены при обычной линеаризации.

Коэффициенты гармонической линеаризации

некоторых типовых нелинейностей

Релейная характеристика

2.Релейная характеристика с зоной нечувствительности

,
Амплитуда колебаний

3.Релейная характеристика с петлей гистерезиса

,
,

4.Релейная характеристика с зоной нечувствительности и петлей гистерезиса

Теперь рассмотрим замкнутую систему.

Можно ввести понятие передаточной функции нелинейного элемента

Тогда характеристическое уравнение замкнутой САУ:

или

Когда в замкнутой системе возникают собственные незатухающие колебания постоянной амплитуды и частоты, то коэффициенты гармонической линеаризации становятся постоянными и САУ становится линейной. А в линейной системе наличие периодических незатухающих колебаний говорит о наличии у нее чисто мнимых корней.

Таким образом для определения периодических решений надо в характеристическое уравнение подставить
. Здесь- текущая частота, а- частота автоколебаний.

В этом уравнении неизвестными являются и.

Выделим в этом уравнении действительную и мнимую части.

Введем для частоты и амплитуды искомого периодического решения обозначения
,
.

Получим два уравнения с двумя неизвестными.

Решив эти уравнения, найдем и- амплитуду и частоту периодических решений в НЛ САУ.

С помощью этих уравнений можно определить не только и, но и построить зависимостьи, например, от коэффициента усиления САУК .

Тогда, считая К переменным, запишем:

Задаваясь К , находим и, т.е
и

Можно выбрать К так, чтобы

1. было бы мало,

2. было бы неопасно для САУ,

3.автоколебаний не было бы.

С помощью этих же уравнений можно на плоскости двух параметров (например, Т и К ) построить линии равных значений амплитуды и частоты автоколебаний. Для этого уравнения переписывают:

Задаваясь числовыми значениями , получим
и

По этим графикам можно выбирать Т и К.

Определение устойчивости решений в нелинейных САУ

Автоколебаниям в НЛ САУ должны соответствовать устойчивые периодические решения. Поэтому после нахождения амплитуды и частотыпериодических решений необходимо исследовать их на устойчивость.

Рассмотрим приближенный метод исследования устойчивости периодических решений в НЛ САУ с помощью годографа Михайлова.

Пусть НЛ САУ

,
.
- получена с помощью метода гармонической линеаризации.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

Запишем уравнение характеристической кривой (годографа Михайлова), для чего подставим в него
.

- текущее значение частоты вдоль годографа Михайлова,

- частота гармонической линеаризации (автоколебаний).

Тогда для любых заданных постоянных икривая Михайлова будет иметь такой же вид, как и для обыкновенных линейных систем.

При периодических решениях, соответствующих и, годограф Михайлова будет проходить через начало координат (т.к. система находится на границе устойчивости).