Как найти сторону правильной треугольной призмы. Геометрическая фигура призма
Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.
Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.
Элементы треугольной призмы
Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 являются основаниями призмы .
Четырехугольники A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 и A 1 C 1 CA являются боковыми гранями призмы .
Стороны граней являются ребрами призмы (A 1 B 1 , A 1 C 1 , C 1 B 1 , AA 1 , CC 1 , BB 1 , AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.
Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).
Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.
Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.
— это сумма площадей четырехугольных граней призмы.
Виды треугольных призм
Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.
У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.
Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.
Объем призмы = площадь основания х высота
V=S осн. h
Площадь боковой поверхности призмы
Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота
S бок =P осн. h
Площадь полной поверхности призмы
Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.
так как S бок =P осн. h, то получим:
S полн.пов. =P осн. h+2S осн
Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Свойства призмы :
Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.
Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см 2 , то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см 3 . Если площадь основания в мм 2 , то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм 3 и т. д.
Пример призмы
В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.
Задачи на расчет треугольной призмы
Задача 1
. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение:
Объем прямой призмы равен V = Sh, где S - площадь основания, а h - боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:
V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.
Задача 2.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
Решение:
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S осн ·h.
Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .
Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.
Таким образом, искомый объём равен 20.
Правильная треугольная призма - призма, в основаниях которой лежат два правильных треугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.
Обозначения
- $ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная призма
- $a$ - длина стороны основания призмы
- $h$ - длина бокового ребра призмы
- $S_{\text{осн.}}$ - площадь основания призмы
- $V_{\text{призмы}}$ - объем призмы
Площадь оснований призмы
В основании правильной треугольной призмы лежит правильный треугольник со стороной $a$. По свойствам правильного треугольника $$ S_{\text{осн.}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2 $$ Таким образом, получается, что $S_{ABC}=S_{A_1B_1C_1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$.Объем призмы
Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро $AA_1$. В основании правильной треугольной призмы находится правильный треугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн.}}\cdot AA_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2 \cdot h $$Находим BD
BD является высотой правильного треугольника со стороной $a$, лежащего в основании призмы. По свойствам правильного треугольника $$ BD=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длины всех остальных диагоналей оснований призмы равны $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a$.Находим $BD_1$
В треугольнике $DBD_1$:- $DB=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a$ - как мы только что выяснили
- $DD_1=h$
- $\angle BDD_1=90^{\circ}$ - потому что прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$
Находим $BC_1$
В треугольнике $CBC_1$:- $CB=a$
- $CC_1=h$
- $\angle BCC_1=90^{\circ}$ - потому что прямая $CC_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$
Является одной из частых объемных геометрических фигур, которые мы встречаем в нашей жизни. Например, в продаже можно встретить брелки и часы в форме нее. В физике эту фигуру, сделанную из стекла, используют для изучения спектра света. В данной статье освятим вопрос, касающийся развертки треугольной призмы.
Что собой представляет треугольная призма
Рассмотрим эту фигуру с геометрической точки зрения. Чтобы ее получить, следует взять треугольник, имеющий произвольные длины сторон, и параллельно самому себе перенести его в пространстве на некоторый вектор. После этого необходимо соединить одинаковые вершины исходного треугольника и треугольника, полученного переносом. Мы получили треугольную призму. Ниже фото демонстрирует один из примеров этой фигуры.
Из рисунка видно, что она образована 5-ю гранями. Две одинаковые треугольные стороны называются основаниями, три стороны, представленные параллелограммами, называются боковыми. У этой призмы можно насчитать 6 вершин и 9 ребер, из которых 6 лежат в плоскостях параллельных оснований.
Выше была рассмотрена треугольная призма общего типа. Она будет называться правильной, если выполняются следующих два обязательных условия:
- Ее основание должно представлять правильный треугольник, то есть все его углы и стороны должны быть одинаковыми (равносторонний).
- Угол между каждой боковой гранью и основанием должен быть прямым, то есть составлять 90 o .
На фото выше изображена рассматриваемая фигура.
Для правильной треугольной призмы удобно выполнять расчеты длины ее диагоналей и высоты, объема и площади поверхности.
Возьмем правильную призму, представленную на предыдущем рисунке, и проведем мысленно для нее следующие операции:
- Разрежем сначала два ребра верхнего основания, которые ближе всего находятся к нам. Отогнем основание вверх.
- Операции пункта 1 проделаем для нижнего основания, только отогнем его вниз.
- Разрежем фигуру по ближайшему боковому ребру. Отогнем влево и вправо две боковые грани (два прямоугольника).
В итоге мы получим развертку треугольной призмы, которая представлена ниже.
Эту развертку удобно использовать для вычисления площади боковой поверхности и оснований фигуры. Если длина бокового ребра равна c, а длина стороны треугольника равна a, тогда для площади двух оснований можно записать формулу:
Площадь боковой поверхности будет равна трем площадям одинаковых прямоугольников, то есть:
Тогда полная площадь поверхности будет равна сумме S o и S b .
Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.
При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Основные моменты, которые стоит запомнить
- Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
- Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры - равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.
Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» - залог вашего успеха!
Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.
Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.
Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.
С помощью этого видеоурока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы». В ходе занятия учитель расскажет о том, что представляют собой такие геометрические фигуры, как многогранник и призмы, даст соответствующие определения и объяснит их суть на конкретных примерах.
С помощью этого урока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы».
Определение . Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.
Рассмотрим следующие примеры многогранников:
1. Тетраэдр ABCD - это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС , ADB , BDC и ADC (рис. 1).
Рис. 1
2. Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).
Рис. 2
Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.
Грани - это многоугольники, составляющие многогранник.
Ребра - это стороны граней.
Вершины - это концы ребер.
Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.
Грани : треугольники АВС, ADB, BDC, ADC .
Ребра : АВ, АС, ВС, DC , AD , BD .
Вершины : А, В, С, D .
Рассмотрим параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 2).
Грани : параллелограммы АА 1 D 1 D, D 1 DСС 1 , ВВ 1 С 1 С, АА 1 В 1 В, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .
Ребра : АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.
Вершины : A, B, C, D, A 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .
Важным частным случаем многогранника является призма.
АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 3).
Рис. 3
Равные треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА 1 , ВВ 1 , СС 1 параллельны.
То есть АВСА 1 В 1 С 1 - треугольная призма, если:
1) Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны.
2) Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Ребра АА 1 , ВВ 1 , СС 1 параллельны.
АВС и А 1 В 1 С 1 - основания призмы.
АА 1 , ВВ 1 , СС 1 - боковые ребра призмы.
Если с произвольной точки Н 1 одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН 1 на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.
Определение . Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае - наклонной.
Рассмотрим треугольную призму АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 4). Эта призма - прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Например, ребро АА 1 перпендикулярно плоскости АВС . Ребро АА 1 является высотой этой призмы.
Рис. 4
Заметим, что боковая грань АА 1 В 1 В перпендикулярна к основаниям АВС и А 1 В 1 С 1 , так как она проходит через перпендикуляр АА 1 к основаниям.
Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 5). Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки А 1 перпендикуляр А 1 Н на АВС , то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок АН - это проекция отрезка АА 1 на плоскость АВС .
Тогда угол между прямой АА 1 и плоскостью АВС это угол между прямой АА 1 и её АН проекцией на плоскость, то есть угол А 1 АН .
Рис. 5
Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 6). Рассмотрим, как она получается.
1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A 1 B 1 C 1 D 1 : ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 .
2) Четырехугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Четырехугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1 .
Определение . Диагональ призмы - это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Например, АС 1 - диагональ четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Определение . Если боковое ребро АА 1 перпендикулярно плоскости основания, то такая призма называется прямой.
Рис. 6
Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 изображен на рис. 7.
Рассмотрим, как он устроен:
1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае - равные параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 : ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 .
2) Параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC ║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).
3) Параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 расположены таким образом, что боковые ребра параллельны между собой: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1 .
Рис. 7
Из точки А 1 опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС . Отрезок А 1 Н является высотой.
Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8).
1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 : ABCDEF = A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 .
2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Шестиугольники ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны: АА 1 ║ВВ 1 …║FF 1 .
Рис. 8
Определение . Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.
Определение . Прямая призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники.
Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА 1 В 1 С 1 .
Рис. 9
Треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма - прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани - равные прямоугольники.
Итак, если треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - правильная, то:
1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA 1 ⊥ АВС .
2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС - правильный.
Определение . Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается S полн .
Определение . Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех боковых граней. Обозначается S бок .
Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы:
S полн = S бок + 2S осн.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Доказательство проведем на примере треугольной призмы.
Дано : АВСА 1 В 1 С 1 - прямая призма, т. е. АА 1 ⊥ АВС .
АА 1 = h.
Доказать : S бок = Р осн ∙ h.
Рис. 10
Доказательство .
Треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - прямая, значит, АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С - прямоугольники.
Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С:
S бок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P осн ∙ h.
Получаем, S бок = Р осн ∙ h, что и требовалось доказать.
Мы познакомились с многогранниками, призмой, её разновидностями. Доказали теорему о боковой поверхности призмы. На следующем уроке мы будем решать задачи на призму.
- Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.
- Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил.
- Якласс ().
- Shkolo.ru ().
- Старая школа ().
- WikiHow ().
- Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, ребер у такой призмы?
- Существует ли призма, которая имеет в точности 100 ребер?
- Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту призмы, если боковое ребро равно 6 см.
- В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет 27 см 2 . Найдите площадь полной поверхности призмы.